Simulation und Optimierung eines Waterloop-Systems

4.3 Berechnungsgenauigkeit

Um die Genauigkeit der Berechnungsergebnisse zu bewerten, wurde der Gesamtstromverbrauch des optimierten Systems als zentrales Kriterium herangezogen. Als Referenz diente das Modell mit der höchsten Genauigkeit und dem längsten Look-Ahead. Es ist zu beachten, dass jede Form der Modellierung einen gewissen Fehler gegenüber einer realen Anlage aufweist. Im vorliegenden Fall wurden die meisten Komponenten vollständig anhand von Herstellerangaben beziehungsweise Kennfeldern parametriert. Dadurch konnte die zugrunde liegende Datengrundlage sowohl im MILP- als auch im MIQCP-Modell nahezu vollständig abgebildet werden. Eine Ausnahme bildet der Rückkühler, dessen elektrische Leistung physikalisch stark nichtlinear von der Temperatur abhängt. Dieses Verhalten wurde in allen Modellen stückweise linear angenähert.

Durch die Kopplung der Komponenten entstehen jedoch weitere Nichtlinearitäten, die im MIQCP vollständig abgebildet sind, im MILP jedoch abschnittsweise linearisiert werden mussten. Das MIQCP weist somit nur sehr geringe modellbedingte Abweichungen gegenüber dem bekannten Komponentenverhalten auf, konkret nur am Rückkühler. Eine Abweichung gegenüber der MIQCP-Modellierung kann daher näherungsweise als Fehlerabweichung betrachtet werden. In Varianten ohne Speicher und ohne Look-Ahead wird das MIQCP als Referenz herangezogen. In Varianten mit Speicher und mit Zeitschrittkopplung durch Look-Ahead dient das MIQCP mit dem höchsten Look-Ahead von 12 Stunden als Referenz. Alle anderen Modelle werden je Variante mit dieser Referenz verglichen. Die Ergebnisse sind in Bild 7 dargestellt.

In Varianten ohne Speicher weichen die Ergebnisse der MILP-Modellierungen zwischen etwa 0,6 und 3,0 % von der Referenz ab. Wie zu erwarten, sind die Abweichungen im Fall der dreistufigen abschnittsweisen Linearisierung tendenziell höher. In Varianten mit Speicher unterscheiden sich die Ergebnisse innerhalb einer Variante bei unterschiedlichen Look-Ahead-Werten nur geringfügig voneinander. Um auszuschließen, dass dies auf die geringe Kapazität des Speichers zurückzuführen ist, wird die Speichergröße für Variante 2.1 zu Prüfungszwecken signifikant erhöht, von 1.000 Liter auf über 80.000 Liter. Der Einfluss blieb dennoch nahezu unverändert gering. Auch die MIQCP-Modelle mit geringerem Look-Ahead weichen nur minimal von der Referenz ab. Die MILP-Modelle zeigen innerhalb einer Variante ebenfalls nur geringe Unterschiede zwischen den verschiedenen Look-Ahead-Werten. Die Abweichung der MILP-Ergebnisse liegt zwischen etwa 0,7 % im Fall von Variante 2.1 mit vergrößertem Speicher und rund 5,6 % im Fall von Variante 3.1.

In diesem konkreten Fall ist zu berücksichtigen, dass die Referenzmodellierung in einigen Zeitschritten nicht konvergiert. Dadurch verbleibt ein Gap-Wert von 0,55 % in der Referenz. Die Abweichung gegenüber der Referenz weist somit ebenfalls eine Unschärfe von 0,55 % auf.

4.4 Berechnungszeit / Gap-Werte

Wie in Abschnitt 2 (im 1. Teil) beschrieben, wurden die Gap-Werte, die den Abstand zum mathematischen Optimum anzeigen, auf möglichst einheitliche Werte eingestellt, um so die Berechnungszeiten vergleichbar zu machen.

In Bild 8 sind die resultierenden Berechnungszeiten für die Varianten ohne Speicher und entsprechend ohne Look-Ahead dargestellt. Es wird deutlich, dass sich die Berechnungszeiten von MILP und MIQCP stark unterscheiden: um einen Faktor zwischen 2,4 und 24 jeweils bezogen auf das 5-stufige MILP-Modell. Das 3-stufige Modell ist noch etwas schneller. Variante 2.0 fällt dadurch auf, dass die Berechnung im MILP etwas langsamer ist als in V1 und V3.0, während das MIQCP hier schneller gelöst werden konnte. Dies verdeutlicht, dass die Performance stark vom konkreten Fall abhängig ist.

Trotz der teils sehr großen Faktoren zwischen den Zeiten von MILP und MIQCP relativiert sich der Unterschied bei Betrachtung der absoluten Werte. Alle Berechnungen bleiben unter 11 min für ein vollständiges Jahr Simulationsdauer, obwohl die Berechnung auf einem gewöhnlichen Anwender PC erfolgt.

In Bild 9 sind die resultierenden Berechnungszeiten für die Varianten mit Speicher und unterschiedlich große Look-Ahead Zeitfenster dargestellt. Die dargestellten Berechnungszeiten beziehen sich jeweils auf einen Monat Simulationszeit und weisen insgesamt deutlich höhere Werte auf.

Die Berechnungszeiten für MIQCP Modelle sind auch in diesem Fall alle größer als für MILP. Bei einem Look-Ahead von 12 Stunden in beiden Modellen ergeben sich Faktoren zwischen beiden Modellen von 1,7 bis 93. Die Unterschiede sind in den Varianten 2.1 deutlich größer als in Variante 3.1, da hier auch die MILP-Modelle große Berechnungszeiten aufweisen.

Insbesondere in den Varianten 2.1 fällt der große Einfluss des Look-Ahead Zeitfensters im MIQCP auf. Durch eine Reduktion von 12 auf 4 Stunden kann die Berechnungszeit um bis zu 97 % gesenkt werden. Unter Berücksichtigung der Beobachtung in Abschnitt 4.3, wonach die Reduktion des Look-Aheads nur minimalen Einfluss auf das Ergebnis hat, scheint dies im konkreten Anwendungsfall eine sinnvolle Maßnahme zur Reduktion der Rechenzeit zu sein. Der Faktor gegenüber MILP ist bei diesen reduzierten Look-Ahead Werten deutlich kleiner im Bereich von unter 4.

4.5 Abbildung des Komponenten­verhaltens

Während der vorige Abschnitt den summierten Verbrauch des gesamten Systems über die gesamte Simulationsdauer betrachtet, wird nachfolgend das Betriebsverhalten einzelner Komponenten verglichen. Auch hier wird wieder das Ergebnis des MIQCP als Referenz herangezogen. Die verwendete Größe, um das Betriebsverhalten einzelner Komponenten im MILP mit dem Verhalten im MIQCP zu vergleichen, ist das statistische Bestimmtheitsmaß. Konkret werden die Stundenwerte der elektrischen Leistungen (Lastgänge) des MILP-Modells mit den entsprechenden Stundenwerten der elektrischen Leistung im MIQCP korreliert. Stimmen die Lastgänge vollständig überein, nimmt das Bestimmtheitsmaß (R²) den Wert 1 an, wenn es keine Korrelation zwischen beiden gibt, den Wert 0. Da sich in den Varianten mit Speichern durch eventuell unterschiedliche Speicher Lade- und Entladestrategien zeitlich sehr unterschiedliche Profile ergeben können, sind diese Fälle nachfolgend nicht dargestellt.

In Tabelle 1 sind die resultierenden Bestimmtheitsmaße dargestellt. Der Gesamtstromverbrauch wird im Allgemeinen gut wiedergegeben.

Auch die Kältemaschinen der Kühlmöbel, welche die für den Stromverbrauch entscheidenden Komponenten sind, zeigen eine gute Korrelation, wie in Bild 10 dargestellt. Die vorhandene Streuung weist jedoch bereits auf leicht unterschiedliche Betriebsweisen hin. Da in Variante V3.0 eine konstante Kondensationstemperatur für die Kühlmöbel erzeugt wird, gibt es in dieser konkreten Variante keine Abweichungen (vgl. Tabelle 1).

Bei Betrachtung der Korrelation der Wärmepumpe ergibt sich bereits eine deutlichere Abweichung (vgl. Tabelle 1 und Punktwolke in Bild 11). Insbesondere der Rückkühler wird schlecht abgebildet, wie das geringe Bestimmtheitsmaß in Tabelle 1 und auch die Punktwolke in Bild 11 erkennen lassen.

Diese Abweichungen haben nur einen kleineren Einfluss auf das Gesamtergebnis, da die Leistung des Rückkühlers klein in Relation zu den Kältemaschinen ist. Dies gilt insbesondere, da sich höhere Leistungen am Rückkühler mit geringen Leistungen an den Kältemaschinen teilweise ausgleichen. Soll die Optimierung jedoch verwendet werden, um die bestmögliche Betriebsstrategie abzuleiten, führen diese Abweichungen zu einem sehr unklaren Bild. MILP eignet sich darum im betrachteten Anwendungsfall nur begrenzt für die Modellierung des Verhaltens einzelner, hinsichtlich ihres Energieverbrauchs „kleiner“
Komponenten.

4.6 Zusammenfassung

Modellierungsaufwand –
zeitlicher Aufwand und
Modellkomplexität

Im Vergleich der beiden Verfahren zeigt sich, dass der Modellierungsaufwand beim MILP-Modell deutlich höher ist als beim MIQCP-Modell. Insbesondere bei grafischer Modellierung erweist sich MIQCP als vorteilhaft, da weniger Arbeitsschritte und eine geringere Komplexität erforderlich sind. Dies führt zu einer Reduzierung des zeitlichen Aufwands und minimiert die Fehleranfälligkeit bei der Modellerstellung.

Berechnungsgenauigkeit – ­Abweichung im Optimum zum
besten Modell

Die Analyse der Berechnungsergebnisse zeigt, dass die Abweichung des Gesamtstromverbrauchs bei MILP-Modellen zwischen 0,14 % und 5,6 % zum Referenzwert liegt. Dieser Referenzwert ist das Ergebnis des jeweils besten Modells. Die MIQCP-Modelle mit geringerem Look-Ahead erreichen geringe Abweichungen von weniger als 0,1 %. Damit bietet MIQCP eine deutlich höhere Genauigkeit bei der Bestimmung des Optimums und der Abbildung der realen Systemzusammenhänge.

Konvergenzverhalten / Robustheit

Insgesamt zeigte sich, dass beide Verfahren in der Regel robust und zuverlässig zu Lösungen führten. In Variante 3.1 konnte das MIQCP-Verfahren in einzelnen Zeitschritten nicht zuverlässig konvergieren. Hier wurde mutmaßlich nur ein lokales und kein globales Optimum erreicht. Dazu sind nähere Analysen nötig, um konkrete Aussagen treffen zu können.

Berechnungszeit / Gap-Werte

Die Berechnungszeiten unterscheiden sich deutlich zwischen den Verfahren. Ohne Look-Ahead benötigt MIQCP etwa das 2 bis 24 fache der Zeit im Vergleich zu MILP. Die absoluten Berechnungszeiten liegen jedoch bei unter 11 Minuten. In den Varianten mit Speichern und Look-Ahead liegt der Faktor der Berechnungszeiten bei 1,7 bis 93. Mit reduziertem Look-Ahead kann der Faktor mit geringem Genauigkeitsverlust auf 1,4 bis 3,5 reduziert werden. Die maximale Berechnungszeit für MIQCP betrug 72 Minuten auf einem normalen Anwender-PC.

Abbildung des Komponenten­verhaltens – Modellgenauigkeit

Bei der detaillierten Abbildung des Komponentenverhaltens zeigt sich, dass MILP insbesondere für kleinere Komponenten nur eingeschränkt geeignet ist. MIQCP ermöglicht eine realistischere und präzisere Modellierung physikalischer und technischer Zusammenhänge, wodurch die Modellgenauigkeit insgesamt verbessert wird.

5 Ergebnisse zum Anwendungsfall

Im Rahmen der Untersuchung wurden verschiedene Varianten eines Waterloop-Systems hinsichtlich ihres Stromverbrauchs bei jeweils optimaler Fahrweise analysiert. Die an dieser Stelle dargestellten Varianten wurden beispielhaft ausgewählt, um die im Fokus stehende Methodik zu veranschaulichen. Die resultierenden Stromverbräuche sind in Bild 12 dargestellt.

Die Variante 2.0, bei der die Kondensation stets auf Wärmerückgewinnungs-Temperatur erfolgt, erwies sich erwartungsgemäß als ineffizient. Der Stromverbrauch resultiert hier insbesondere aus dem Strombedarf der in den Kühlmöbeln integrierten Kältemaschinen, die auf Grund der hohen Kondensationstemperatur mit entsprechend geringen Leistungszahlen arbeiten.

Dagegen zeigte die Variante 2.2 eine effizientere Betriebsweise. Hier wird die Temperatur nur bei Heizwärmebedarf auf Wärmerückgewinnungs-Niveau angehoben und auch nur dann, wenn diese Betriebsweise günstiger ist, als durch direkte Rückkühlung die Kondensationstemperatur abzusenken. Auch dies war prinzipiell zu erwarten, da so die Kühlmöbel in einer großen Zahl von Zeitschritten auf geringerer Temperatur kondensieren können. Der zusätzliche Aufwand für die Luft-Wärmepumpe resultiert aus den Zeitschritten, in denen der Betrieb mit Wärmerückgewinnung weniger effizient gewesen wäre als eine direkte Rückkühlung. Dies gilt insbesondere in Situationen, in denen nur kleinere Wärmeleistungen benötigt werden.

Entgegen ersten Erwartungen schnitt auch die Variante 1.0 mit direkter Rückkühlung sehr gut ab. In dieser Variante findet keine Wärmerückgewinnung statt, die Heizungswärme muss über die separate Luft-Wasser-Wärmepumpe bereitgestellt werden, die mit kalter Umgebungswärme versorgt wird. Trotz dieses Nachteils bei der Quellentemperatur ist der Stromaufwand für die Wärmepumpe nicht viel höher als der in den anderen Varianten notwendige Zusatzstrombedarf für die Kühlmöbel zur Anhebung der Kondensationstemperatur. Daraus lässt sich ableiten, dass eine Wärmerückgewinnung nicht in allen Fällen lohnend ist.

Die Variante 3.1, bei der eine Wärmepumpe als Zwischenstufe eingesetzt wird, zeigte sich im konkreten Fall als wenig effizient. Zwar kann so die Kondensationstemperatur der Kühlmöbel abgesenkt werden: Bedingt durch die Temperaturgrenzen der konkreten Möbel macht sich dieser Effizienzgewinn jedoch hauptsächlich im Sommer bemerkbar. Demgegenüber steht der Verbrauch der zentralen Wärmepumpe, die in dieser Variante dauerhaft betrieben werden muss, wenn auch mit sehr hohen COP-Werten. Insbesondere muss durch die zusätzlichen Wärmeübertragungen (Kühlmöbel-Verflüssiger, Spreizung im Waterloop, Wärmepumpen-Verdampfer) ein Teil des Temperaturhubs zweifach überwunden werden, was die Effizienz weiter einschränkt.

6 Zusammenfassung

Methodik

Die Optimierung eines kältetechnischen Systems, das zusätzlich mit weiterer Haustechnik gekoppelt ist, stellt eine anspruchsvolle Aufgabe dar. Der Einsatz von MIQCP für die Optimierung von Kälte-, Wärme- und Energiesystemen hat sich in der durchgeführten Untersuchung bewährt. Zwar sind die Rechenzeiten bei der Anwendung von MIQCP in allen Fällen höher als bei MILP, teils auch um einen großen Faktor. Die absoluten Berechnungszeiten sind in allen Varianten ohne Zeitschrittkopplung (Look-Ahead) mit wenigen Minuten ausreichend niedrig, sodass der relative Unterschied kaum Praxisrelevanz hat. In den Varianten mit Zeitschrittkopplung liegen die Zeiten deutlich höher. Diese sind jedoch, abhängig vom Anwendungsszenario, noch im praxistauglichen Rahmen. Die Reduktion des Look-Ahead Zeitfensters bietet einen sehr großen Hebel zur Reduktion der Berechnungszeiten: Die dadurch entstehende Ergebnisabweichung ist zumindest im konkret untersuchten Anwendungsfall gering.

Der Nachteil der längeren Berechnungszeiten wird häufig durch die vereinfachte Modellierung und die damit verbundene Einsparung von Arbeitszeit ausgeglichen. Insbesondere entfallen manche Arbeitsschritte wie die abschnittsweise Linearisierung mit den dafür erforderlichen Vorüberlegungen. Dieser Vorteil ist vor allem dann relevant, wenn die Anzahl der voraussichtlichen Optimierungsdurchläufe mit dem einmal erstellten Modell
niedrig ist.

Gleichzeitig lassen sich mit MIQCP deutlich höhere Genauigkeiten erzielen, was die Qualität der Ergebnisse verbessert. Betriebsweisen einzelner Komponenten im System lassen sich besser ermitteln und ableiten.

Es ist zudem zu erwarten, dass sich die Performance dieser Methode in Zukunft weiter steigern lässt: Hier kommen verschiedene Ansätze und Algorithmen in Betracht. Außerdem ließe sich die Optimierung durch Verwendung leistungsstärkerer Hardware beschleunigen.

Anwendungsfall

Im betrachteten Anwendungsfall zeigte sich außerdem, dass eine maximale Wärmerückgewinnung nicht zwangsläufig die effizienteste oder sinnvollste Betriebsweise darstellt. Vielmehr ist dies im einzelnen Anwendungsfall zu prüfen und zu ermitteln. Eine Beobachtung ist, dass die Anzahl der Stufen im System möglichst geringgehalten werden sollte, um Effizienzeinbußen durch Übertragungsverluste zu vermeiden und die Komplexität zu reduzieren.