Simulation und Optimierung eines Waterloop-Systems

1 Einleitung und Zielsetzung

Im Rahmen dieser Untersuchung wird mit einem Waterloop-System in einer Supermarktfiliale ein konkreter Anwendungsfall aus dem Bereich der Kälte- und Energiesysteme betrachtet, der durch eine Vielzahl von technischen Möglichkeiten und Varianten gekennzeichnet ist. Das betrachtete System umfasst drei Hauptvarianten mit mehreren Untervarianten, wobei jede Variante auf unterschiedliche Weise betrieben werden kann und variable Temperaturen aufweist. Die optimale Temperaturwahl hängt dabei wiederum von verschiedenen Einflussgrößen wie der Außentemperatur, dem aktuellen Kühl- und Heizbedarf sowie weiteren Randbedingungen ab. Zusätzlich erweitern Speicherkomponenten das Spektrum der möglichen Betriebsstrategien, insbesondere durch unterschiedliche Lade- und Entladestrategien.

Die zentrale Herausforderung besteht darin, für dieses komplexe System das energetische Optimum zu finden. Hierfür stehen verschiedene Ansätze zur Verfügung: Die Eingrenzung der Lösungsmenge kann durch Expertenwissen und praktische Erfahrung erfolgen sowie durch überschlägige Berechnungen. Die verbleibende Menge an Möglichkeiten kann über entsprechend zahlreiche Simulationen eingegrenzt werden, was jedoch großen Arbeits- und Zeitaufwand bedeutet.

Alternativ bietet sich der Einsatz mathematischer Optimierungsverfahren an, die selbstständig das Optimum finden können. Hierbei ist zu unterscheiden zwischen der Strukturoptimierung und der Betriebsoptimierung.

Während die Strukturoptimierung die Komponenten, deren Dimensionierung und Verschaltung optimieren kann, dient die Betriebsoptimierung dazu, für gegebene Komponenten und deren Verschaltung die jeweils optimale Betriebsweise zu finden. Im Fokus dieser Untersuchung steht die Betriebsoptimierung.

Das Ziel der Untersuchung ist die Bewertung der Praxistauglichkeit des gemischt-ganzzahligen quadratisch beschränkten Optimierungsverfahrens (MIQCP) im direkten Vergleich mit gemischt-ganzzahligen linearen Optimierungsverfahren (MILP) für die Modellierung von Kälte- und Energiesystemen. Dazu wird das Verfahren exemplarisch auf einen Anwendungsfall aus dem Kundenspektrum angewendet, wobei die Methodik und die eingesetzten Verfahren im Mittelpunkt der Analyse stehen.

2 Anwendungsfall Supermarktfiliale

Im Rahmen des betrachteten Anwendungsfalls (vgl. Bild 1) wird eine Supermarktfiliale mit Waterloop-System analysiert. Die Kälteerzeugung für die einzelnen Kühlstellen erfolgt dezentral über in die Möbel integrierte kompakte Kältemaschinen. Die dabei abzuführende Abwärme wird durch einen Wasserkreislauf (den sog. Waterloop) zum Rückkühler abgeführt, wobei optional eine Wärmerückgewinnung integriert werden kann. Weiterhin gibt es Systeme zur Versorgung des Marktes mit Heizwärme und auch zur Klimatisierung.

Das gesamte System wird in Optimierungsmodellen abgebildet, bestehend aus den Komponenten: Kältemaschinen, die in den Kühlmöbeln installiert sind, Rückkühler, Wärmepumpen, elektrische Heizstäbe, Pumpen sowie (optional) thermische Speicher. Es wurden mehrere grundlegende Verschaltungsvarianten betrachtet, die in Bild 2 skizziert sind und nachfolgend beschrieben werden.

Variante 1.0 sieht eine direkte Rückkühlung vor, bei der die Rückkühltemperatur möglichst niedrig gehalten wird. Präziser ausgedrückt soll die Temperatur jedoch nicht minimal sein, sondern in jedem Betriebszustand optimal gewählt werden als Kompromiss zwischen dem Strombedarf der Kältemaschinen und dem Strombedarf des Rückkühlers.

In den Varianten 2 steht die Wärmerückgewinnung im Fokus: In Variante 2.0 wird stets auf Heiztemperatur rückgekühlt, in der effizienteren Betriebsweise Variante 2.2 nur dann, wenn tatsächlich ein Heizbedarf besteht und der Betrieb der Wärmerückgewinnung tatsächlich günstiger ist; andernfalls erfolgt die Rückkühlung wie in Variante 1.0.

Die Variante 3.0 beschreibt einen zweistufigen Betrieb, bei dem eine zentrale Klima-Kältemaschine den Temperaturhub vom Waterloop bis zur Außenluft beziehungsweise bis zur Heiztemperatur übernimmt.

Ergänzend wurden die Varianten 2 und 3 auch mit zusätzlichen thermischen Speichern untersucht, um die Flexibilität und Effizienz des Gesamtsystems zu steigern: Diese Varianten werden mit 2.1 und 3.1 bezeichnet.

Diese unterschiedlichen Verschaltungs- und Betriebsweisen sollen jeweils in sich betriebsoptimiert werden und bilden die Grundlage für den Vergleich der verschiedenen Modellierungsansätze MILP und MIQCP, die im Abschnitt 3.1 beschrieben werden.

Ausgewählte Ergebnisse der Optimierungen im Anwendungsfall werden zum Teil in Abschnitt 5 dargestellt, sind aber nicht Fokus der Untersuchung.

3 Vorstellung der Methodik

3.1 MILP und MIQCP

Die Optimierung energietechnischer Systeme verfolgt das Ziel, vorgegebene Zielfunktionen wie Betriebskosten oder Emissionen zu minimieren. Dies geschieht durch die systematische Variation von Entscheidungsvariablen innerhalb des Lösungsraums. In der Praxis kommen häufig gemischt-ganzzahlige lineare Optimierungsverfahren (MILP) zum Einsatz. Diese Methoden sind in energietechnischen Anwendungen weit verbreitet, da sie sowohl lineare als auch ganzzahlige Ziel- und Nebenbedingungen abbilden können [1]. Ein großer Vorteil von MILP-Modellen liegt in ihrer Effizienz: Sie ermöglichen die Lösung komplexer Optimierungsprobleme in relativ kurzer Zeit. Allerdings stoßen diese Modelle an ihre Grenzen, wenn es darum geht, nichtlineare Zusammenhänge – insbesondere Temperaturabhängigkeiten – realitätsnah zu berücksichtigen. In solchen Fällen müssen physikalische und technische Beziehungen oft linearisiert werden, was zu einer geringeren Genauigkeit der Ergebnisse führen kann.

Um diese Einschränkungen zu überwinden, können gemischt-ganzzahlige quadratisch beschränkte Optimierungsverfahren (MIQCP, Mixed-Integer Quadratically Constrained Programming) eingesetzt werden. MIQCP-Modelle bieten den Vorteil, dass sowohl in der Zielfunktion als auch in den Nebenbedingungen quadratische Ausdrücke verarbeitet werden können. Eine vereinfachte Veranschaulichung der Lösungsräume ist in Bild 3 gegeben. Dadurch lassen sich insbesondere Temperaturabhängigkeiten und andere nichtlineare Effekte deutlich besser abbilden, was zu einer höheren Genauigkeit und gegebenenfalls zu einer einfacheren Modellierung führt. Die Performance von MIQCP liegt zwischen der von MILP und nichtlinearer Optimierung (NLP), sodass sich je nach Anwendungsfall unterschiedliche Vorteile ergeben [2].

Beide Verfahren wurden auf den vorgestellten Anwendungsfall eines Waterloop-Systems einer Supermarktfiliale angewendet und anhand der im nachfolgenden Abschnitt dargestellten Kriterien gegenübergestellt und verglichen.

3.2 Bewertungskriterien

Um zu bewerten, inwieweit sich MILP und MIQCP zur Optimierung des vorgestellten Anwendungsfalls im praktischen Einsatz eines betrieblichen, nicht-akademischen Umfelds eignen, wurden die nachfolgenden Kriterien verwendet:

Modellierungsaufwand – zeitlicher Aufwand und Modellkomplexität

Dieses Kriterium beschreibt, wie viel Zeit und Aufwand für die Erstellung eines Optimierungsmodells erforderlich sind. Es umfasst sowohl die Komplexität der Modellstruktur als auch den Umfang der notwendigen Arbeitsschritte, um das Modell vollständig und korrekt abzubilden.

Berechnungsgenauigkeit – Abweichung im Optimum zum besten Modell

Hier wird betrachtet, wie präzise das Optimierungsverfahren das tatsächliche Optimum eines Systems bestimmen kann. Das Kriterium umfasst die Fähigkeit des Modells, die Zielfunktion möglichst genau zu minimieren oder zu maximieren und dabei die realen Zusammenhänge abzubilden.

Konvergenzverhalten / Robustheit

Das Konvergenzverhalten beschreibt, wie zuverlässig und stabil ein Optimierungsverfahren zu einer Lösung gelangt. Es geht darum, ob das Modell auch bei komplexen oder schwierigen Problemstellungen eine Lösung findet und wie robust es gegenüber unterschiedlichen Ausgangsbedingungen ist.

Berechnungszeit / Gap-Werte

Dieses Kriterium bezieht sich auf die benötigte Rechenzeit, um eine Lösung zu finden, und auf die sogenannten Gap-Werte, die den Abstand zwischen der gefundenen Lösung und dem mathematischen Optimum angeben. Es wird bewertet, wie effizient das Verfahren hinsichtlich Zeit und Genauigkeit arbeitet. Die Gap-Werte, die den Abstand zum mathematischen Optimum anzeigen, wurden dabei zum Vergleich auf möglichst einheitliche Werte eingestellt.

Abbildung des Komponentenverhaltens – Modellgenauigkeit

Hier wird untersucht, wie gut das Optimierungsmodell das Verhalten einzelner Komponenten eines Systems abbilden kann. Das Kriterium umfasst die Fähigkeit, physikalische und technische Zusammenhänge realistisch und detailliert im Modell darzustellen.

3.3 Kopplung von Zeitschritten

Das Look-Ahead-Prinzip, in der Literatur auch als Rolling Horizon bezeichnet, ist ein zentrales Konzept bei der zeitlichen Kopplung von Simulationsschritten in der Optimierung energietechnischer Systeme [3]. Ziel ist es, die Auswirkungen von Speicherkomponenten und deren Lade- und Entladestrategien realistisch abzubilden. Dazu werden nicht nur einzelne Zeitschritte isoliert betrachtet, sondern mehrere aufeinanderfolgende Simulationsschritte miteinander verbunden.

Im Rahmen der Optimierung bedeutet dies, dass bei jeder Berechnung nicht nur der aktuelle Zeitschritt, sondern auch eine definierte Anzahl zukünftiger Zeitschritte berücksichtigt wird, das sogenannte Look-Ahead-Fenster (in Bild 4 rot markiert). Innerhalb dieses Fensters werden die relevanten Entscheidungsvariablen für die kommenden Zeitpunkte gemeinsam optimiert. Dadurch kann das Modell beispielsweise vorausschauend entscheiden, ob es sinnvoll ist, einen Speicher jetzt zu laden, um in späteren Zeitpunkten von günstigeren Betriebsbedingungen zu profitieren.

Das Ergebniszeitfenster (in Bild 4 blau markiert) legt fest, für wie viele Simulationsschritte tatsächlich ein Ergebnis ermittelt und ausgegeben wird. Nach Abschluss der Optimierung für das aktuelle Fenster wird das um die Länge des Ergebniszeitfensters weitergeschoben, und der Prozess beginnt erneut – daher die Bezeichnung Rolling Horizon. Dieses Vorgehen ermöglicht eine dynamische und flexible Anpassung der Betriebsweise an sich verändernde Randbedingungen und trägt dazu bei, die Gesamteffizienz des Systems zu steigern.

Durch die Kopplung von Zeitschritten mittels Look-Ahead werden insbesondere Speicherprozesse und deren Einfluss auf das Gesamtsystem realistisch und vorausschauend modelliert. Das Verfahren ist besonders relevant für Systeme mit hoher zeitlicher Variabilität, wie sie in der Energie- und Kältetechnik häufig vorkommen.

3.4 Verwendete Plattform und Randbedingungen

Verwendet wurde ein im Forschungsvorhaben BiLiOpt entwickelter Software-Demonstrator, basierend auf dem Software­framework EnergyFrames (GFaI e.V.) [4]. Der eingesetzte Solver ist in allen Fällen Gurobi [5]. Bei der verwendeten Hardware handelt es sich in allen Fällen um den gleichen durchschnittlichen Anwender-PC.

Alle Berechnungen fanden in Zeitschritten von 1 Stunde statt. Die Varianten ohne Speicherterme und Look-Ahead wurden für ein ganzes Jahr berechnet, die Varianten mit Speichertermen und Look-Ahead für einen Monat. Der Look-Ahead wurde zwischen 4, 8 und 12 Stunden variiert. Das Ergebniszeitfenster betrug in allen Fällen 4 Stunden.

4 Ergebnisse zur Methodik

4.1 Modellierungsaufwand

Zunächst wird betrachtet, wie sich der Arbeitsaufwand für den Aufbau eines Optimierungsmodells in der verwendeten Software sowie auch für die notwendigen Überlegungen im Fall von MILP und MIQCP voneinander unterscheidet. Ein wesentlicher Faktor hierbei ist die notwendige Linearisierung im MILP.

Im verwendeten Softwaredemonstrator werden für die Implementierung von Nebenbedingungen für das Komponentenverhalten sogenannte Steuerungskomponenten auf einer grafischen Oberfläche verwendet. Hierbei kann es sich um mathematische Operatoren, Konstanten, freie Variablen, Kennlinien etc. handeln. Die Anzahl an benötigten Steuerungskomponenten eignet sich für eine grobe Einschätzung des Arbeitsaufwands in der Modellierung [6].

In Bild 5 werden die 334 Steuerungskomponenten für ein 5-stufiges MILP dargestellt, in Bild 6 die 52 Steuerungskomponenten für dieselbe Variante in MIQCP.

Bei den verschiedenen betrachteten Varianten liegt die Zahl der Steuerungskomponenten je nach Komplexität des MILP bei dem 4 bis 104-fachen gegenüber MIQCP. Mit dieser höheren Komplexität geht ein höherer zeitlicher Aufwand für relevante Überlegungen und gegebenenfalls für die Linearisierung von Kennlinien einher. Gleichzeitig steigt die Fehleranfälligkeit während der Implementierung durch die größere Menge an Komponenten und manueller Eingaben.

Abhängig von der verwendeten Software, Plattform oder Programmieroberfläche können Teile dieser Aufwände auch teil- oder vollautomatisiert erfolgen. Trotzdem bleibt insbesondere die Linearisierung ein zusätzlicher Schritt in der Modellierung im MILP, der Vorüberlegungen erfordert, um die Linearisierung in möglichst sinnvoller Form durchzuführen und eine potenzielle Fehlerquelle darstellt.

4.2 Konvergenzverhalten / ­Robustheit

Sowohl MILP als auch MIQCP haben im Rahmen dieser Untersuchung überwiegend robust und zuverlässig zu Lösungen geführt. Einzig in Variante 3.1 traten im Fall des MIQCP-Modells in einzelnen Zeitschritten Konvergenzprobleme auf. Trotz testweise sehr langer zugelassener Rechenzeiten wurde der eingestellte Gap-Wert nicht erreicht. Hier hat der Solver mutmaßlich nur ein lokales Optimum erreicht. Infolgedessen ließ sich der globale Gap-Wert der Gesamtsimulation nicht unter 0,55 % senken.

Eine nähere Analyse der Ursache wurde bislang nicht durchgeführt. Für die Praxis ist ein Gap-Wert von 0,55 % nicht erstrebenswert, je nach Aufgabenstellung aber vertretbar. Für die nicht konvergierten Zeitschritte gäbe es eine Möglichkeit, Ersatzwerte zu verwenden, um den Einfluss auf die Gesamtoptimierung klein zu halten. In jedem Fall erfordert das beobachtete Verhalten, dass der Anwender entsprechende Grenzwerte für die maximale Berechnungsdauer als Abbruchkriterium definiert, um in einem Praxisumfeld Ergebnisse in einem gegebenen Zeitrahmen erzeugen zu können, auch wenn dies mit kleineren Genauigkeitseinbußen verbunden ist.

Im 2. Teil dieses Beitrags werden in der nächsten Ausgabe der KKA weitere Ergebnisse zu den verwendeten Optimierungsverfahren zusammengefasst und die Schlussfolgerungen zum konkreten Anwendungsfall vorgestellt.

Literaturverzeichnis

[1] Prina, M. G.; Manzolini, G.; Moser, D.; Nastasi, B.; Sparber, W., Classification and challenges of bottom-up energy system models – A review, Renewable and Sustainable Energy Reviews, Bd. 129 (2020)

[2] Sudermann-Merx, N., Einführung in Optimierungsmodelle – Mit Beispielen und Real-World-Anwendungen in Python, Springer Spektrum, 2023

[3] Chand, S.; Ning Hsu, V.; Sethi, S., Forecast, Solution, and Rolling Horizons in Operations Management Problems: A Classified Bibliography, Manufacturing & Service Operations Management, Bd. 4 (2002), pp. 25 - 43

[4] Gesellschaft zur Förderung angewandter Informatik e. V., https://www.gfai.de

[5] Gurobi Optimization, LLC, Gurobi Optimizer Reference Manual, https://www.gurobi.com, 2024

[6] Mäckel, C., Untersuchung der Praxistauglichkeit gemischt-ganzzahliger Optimierungen verschiedener Energiesysteme mit quadratischen Randbedingungen, Masterarbeit, RWTH Aachen University, 2025